标量函数的根
对一元非线性方程求解
fzero
函数尝试求一个一元方程的根。可以通过用于指定起始区间的单元素起点或双元素向量调用该函数。如果为 fzero
提供起点 x0
,fzero
将首先搜索函数更改符号的点周围的区间。如果找到该区间,fzero
返回函数更改符号的位置附近的值。如果未找到此类区间,fzero
返回 NaN
。或者,如果知道函数值的符号不同的两个点,可以使用双元素向量指定该起始区间;fzero
保证缩小该区间并返回符号更改处附近的值。
以下部分包含两个示例,用于说明如何使用起始区间和起点查找函数的零元素。这些示例使用由 MATLAB® 提供的函数 humps.m
。下图显示了 humps
的图。
x = -1:.01:2; y = humps(x); plot(x,y) xlabel('x'); ylabel('humps(x)') grid on
为 fzero
设置选项
可以通过设置选项控制 fzero
函数的多个方面。使用 optimset
设置选项。选项包括:
使用起始区间
humps
的图指示 x = -1
时函数为负数,x = 1
时函数为正数。可以通过计算这两点的 humps
进行确认。
humps(1)
ans = 16
humps(-1)
ans = -5.1378
因此,可以将 [-1 1]
用作 fzero
的起始区间。
fzero
的迭代算法可求 [-1 1]
越来越小的子区间。对于每个子区间,humps
在两个端点的符号不同。由于子区间的端点彼此越来越近,因此它们收敛到 humps
的零位置。
要显示 fzero
在每个迭代过程中的进度,请使用 optimset
函数将 Display
选项设置为 iter
。
options = optimset('Display','iter');
然后如下所示调用 fzero
:
a = fzero(@humps,[-1 1],options)
Func-count x f(x) Procedure 2 -1 -5.13779 initial 3 -0.513876 -4.02235 interpolation 4 -0.513876 -4.02235 bisection 5 -0.473635 -3.83767 interpolation 6 -0.115287 0.414441 bisection 7 -0.115287 0.414441 interpolation 8 -0.132562 -0.0226907 interpolation 9 -0.131666 -0.0011492 interpolation 10 -0.131618 1.88371e-07 interpolation 11 -0.131618 -2.7935e-11 interpolation 12 -0.131618 8.88178e-16 interpolation 13 -0.131618 8.88178e-16 interpolation Zero found in the interval [-1, 1]
a = -0.1316
每个值 x
代表迄今为止最佳的端点。Procedure
列向您显示每步的算法是使用对分还是插值。
可以通过输入以下内容验证 a
中的函数值是否接近零:
humps(a)
ans = 8.8818e-16
起点的使用
假定您不知道 humps
的函数值符号不同的两点。在这种情况下,可以选择标量 x0
作为 fzero
的起点。fzero
先搜索函数更改符号的点附近的区间。如果 fzero
找到此类区间,它会继续执行上一部分中介绍的算法。如果未找到此类区间,fzero
返回 NaN
。
例如,将起点设置为 -0.2
,将 Display
选项设置为 Iter
,并调用 fzero
:
options = optimset('Display','iter'); a = fzero(@humps,-0.2,options)
Search for an interval around -0.2 containing a sign change: Func-count a f(a) b f(b) Procedure 1 -0.2 -1.35385 -0.2 -1.35385 initial interval 3 -0.194343 -1.26077 -0.205657 -1.44411 search 5 -0.192 -1.22137 -0.208 -1.4807 search 7 -0.188686 -1.16477 -0.211314 -1.53167 search 9 -0.184 -1.08293 -0.216 -1.60224 search 11 -0.177373 -0.963455 -0.222627 -1.69911 search 13 -0.168 -0.786636 -0.232 -1.83055 search 15 -0.154745 -0.51962 -0.245255 -2.00602 search 17 -0.136 -0.104165 -0.264 -2.23521 search 18 -0.10949 0.572246 -0.264 -2.23521 search Search for a zero in the interval [-0.10949, -0.264]: Func-count x f(x) Procedure 18 -0.10949 0.572246 initial 19 -0.140984 -0.219277 interpolation 20 -0.132259 -0.0154224 interpolation 21 -0.131617 3.40729e-05 interpolation 22 -0.131618 -6.79505e-08 interpolation 23 -0.131618 -2.98428e-13 interpolation 24 -0.131618 8.88178e-16 interpolation 25 -0.131618 8.88178e-16 interpolation Zero found in the interval [-0.10949, -0.264]
a = -0.1316
每个迭代中当前子区间的端点列在标题 a
和 b
下,而端点处的相应 humps
值分别列在 f(a)
和 f(b)
下。
注意:端点 a
和 b
未按任何特定顺序列出:a
可能大于 b
或小于 b
。
对于前 9 步,humps
的符号在当前子区间的两端点都为负号,如输出中所示。在第 10 步,humps
的符号在 a
(-0.10949
) 处为正号,但在 b
(-0.264
) 处为负号。从该点开始,如上一部分中所述,算法继续缩小区间 [-0.10949 -0.264]
,直到它达到值 -0.1316
。