besselj

第一类贝塞尔函数

语法

J = besselj(nu,Z)

J = besselj(nu,Z,scale)

说明

J = besselj(nu,Z) 为数组 Z 中的每个元素计算第一类贝塞尔函数 J_ν(z)。

J = besselj(nu,Z,scale) 指定是否呈指数缩放第一类贝塞尔函数以避免溢出或精度损失。如果 scale 为 1，则 besselj 的输出按因子 exp(-abs(imag(Z))) 进行缩放。

示例

绘制第一类贝塞尔函数图

定义域。

z = 0:0.1:20;

计算前五个第一类贝塞尔函数。J 的每一行包含在 z 中的点上计算的某阶函数的值。

J = zeros(5,201);
for i = 0:4
    J(i+1,:) = besselj(i,z);
end

在同一图窗中绘制所有函数。

plot(z,J)
grid on
legend('J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','Location','Best')
title('Bessel Functions of the First Kind for $\nu \in [0, 4]$','interpreter','latex')
xlabel('z','interpreter','latex')
ylabel('$J_\nu(z)$','interpreter','latex')

计算呈指数缩放的贝塞尔函数

为 $\mathit{z}$ 的复数值计算未缩放的 (J) 和经过缩放的 (Js) 第一类贝塞尔函数 ${\mathit{J}}_2\left(\mathit{z}\right)$。

x = -10:0.3:10;
y = x';
z = x + 1i*y;
scale = 1;
J = besselj(2,z);
Js = besselj(2,z,scale);

比较经过缩放的函数和未缩放函数的虚部图。对于 abs(imag(z)) 的大值，未缩放的函数很快上溢超出双精度的限制，不再可计算。经过缩放的函数从计算中消除了这种占主导状态的指数行为，因此与未缩放的函数相比，具有更大的可计算性范围。

surf(x,y,imag(J))
title('Bessel Function of the First Kind','interpreter','latex')
xlabel('real(z)','interpreter','latex')
ylabel('imag(z)','interpreter','latex')

surf(x,y,imag(Js))
title('Scaled Bessel Function of the First Kind','interpreter','latex')
xlabel('real(z)','interpreter','latex')
ylabel('imag(z)','interpreter','latex')

输入参数

nu — 方程的阶

标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

方程的阶，指定为标量、向量、矩阵或多维数组。nu 是一个实数，用于指定第一类贝塞尔函数的阶。nu 和 Z 的大小必须相同，或者其中一个可以为标量。

示例: besselj(3,0:5)

数据类型: single | double

Z — 函数的域

标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

函数的域，指定为标量、向量、矩阵或多维数组。besselj 是实数值，其中 Z 是正值。nu 和 Z 的大小必须相同，或者其中一个可以为标量。

示例: besselj(1,[1-1i 1+0i 1+1i])

数据类型: single | double
复数支持: 是

scale — 切换到缩放函数

0 (默认) | 1

切换到缩放函数，指定为下列值之一：

• 0（默认值）- 无缩放

• 1 - 按 exp(-abs(imag(Z))) 缩放 besselj 的输出

在复平面上，besselj 的模随着 abs(imag(Z)) 的值增加而快速增长，因此呈指数缩放输出对于 abs(imag(Z)) 的大值很有用；如果不这样处理，结果会很快损失精度或上溢超出双精度的限制。

示例: besselj(3,0:5,1)

详细信息

贝塞尔函数

以下微分方程（其中 ν 是实数常量）称为贝塞尔方程：

$$z^2\frac{d^{2}y}{d{z}^2}+z\frac{dy}{dz}+\left(z^2-{\nu }^2\right)y=0.$$

它的解称为贝塞尔函数。

第一类贝塞尔函数（表示为 J_ν(z) 和 J_–ν(z)）构成了非整数 ν 的贝塞尔方程的一组基本解。J_ν(z) 通过以下方式定义：

$$J_{\nu }(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }{\displaystyle \sum }_{(k=0)}^{\infty }\frac{{\left(\frac{-z^2}{4}\right)}^k}{k!\Gamma (\nu +k+1)}.$$

第二类贝塞尔函数（表示为 Y_ν(z)）构成了贝塞尔方程的另一个解，与 J_ν(z) 线性无关。Y_ν(z) 通过以下方式定义：

$$Y_{\nu }(z)=\frac{J_{\nu }(z)\cos (\nu \pi )-J_{-\nu }(z)}{\sin (\nu \pi )}.$$

您可以使用 bessely 计算第二类贝塞尔函数。

提示

贝塞尔函数与汉克尔函数相关，也称为第三类贝塞尔函数，

$$\begin{array}{l}{H}_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+i{Y}_{\nu }(z)\\ H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-i{Y}_{\nu }(z).\end{array}$$

$$H_{\nu }^{(K)}(z)$$ 是 besselh，J_ν(z) 是 besselj，Y_ν(z) 是 bessely。汉克尔函数同样构成贝塞尔方程的一组基本解（请参阅 besselh）。

扩展功能

tall 数组

对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

此函数完全支持 tall 数组。有关详细信息，请参阅 tall 数组。

C/C++ 代码生成

使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

• 始终返回复数结果。

• 不支持严格的单精度计算。在生成的代码中，单精度输入生成单精度输出。但是，函数内部的变量可能是双精度。

GPU 代码生成

使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

用法说明和限制：

• 始终返回复数结果。

• 不支持严格的单精度计算。在生成的代码中，单精度输入生成单精度输出。但是，函数内部的变量可能是双精度。

基于线程的环境

使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组

通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

用法说明和限制：

• 阶数 nu 必须包含非负实整数值。

• 参量 Z 必须包含实数值。

有关详细信息，请参阅Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox)。

分布式数组

使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

此函数完全支持分布式数组。有关详细信息，请参阅Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

besselh | besseli | besselk | bessely