线性约束

什么是线性约束？

有几个优化求解器接受线性约束，这些线性约束对解 x 进行限制以满足线性等式或不等式。接受线性约束的求解器包括 fmincon、intlinprog、linprog、lsqlin、quadprog、多目标求解器，以及一些 Global Optimization Toolbox 求解器。

线性不等式约束

线性不等式约束的形式为 A·x ≤ b。当 A 为 m×n 时，表示对包含 n 个分量的变量 x 有 m 个约束。您需要提供 m×n 形式的矩阵 A 和包含 m 个分量的向量 b。

在 A 和 b 参量中传递线性不等式约束。

例如，假设您有以下线性不等式作为约束：

x₁ + x₃ ≤ 4,
2x₂ – x₃ ≥ –2,
x₁ – x₂ + x₃ – x₄ ≥ 9。

此处，m = 3 且 n = 4。

请使用下面的矩阵 A 和向量 b 编写这些约束：

$$\begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& -2& 1& 0\\ -1& 1& -1& 1\end{array}\right],\\ b=\left[\begin{array}{c}4\\ 2\\ -9\end{array}\right].\end{array}$$

请注意，需要先将“大于”不等式乘以 –1 以转换为“小于”不等式形式。在 MATLAB^® 语法中：

A = [1 0 1 0;
    0 -2 1 0;
    -1 1 -1 1];
b = [4;2;-9];

您不需要为线性约束提供梯度；求解器会自动计算它们。线性约束对黑塞函数没有影响。

即使您将初始点 x0 作为矩阵进行传递，求解器也会将当前点 x 作为列向量传递给线性约束。请参阅矩阵参量。

有关线性约束的更复杂示例，请参阅基于求解器设置线性规划。

中间迭代可能违反线性约束。请参阅迭代可能违反约束。

线性等式约束

线性等式的形式为 Aeq·x = beq，表示 m 个方程，其中的向量 x 包含 n 个分量。您需要提供 m×n 形式的矩阵 Aeq 和包含 m 个分量的向量 beq。

按照线性不等式约束中对 A 和 b 参量的相同方式，在 Aeq 和 beq 参量中传递线性等式约束。

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