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corr

线性或秩相关性

语法

rho = corr(X)

rho = corr(X,Y)

[rho,pval] = corr(X,Y)

[rho,pval] = corr(___,Name,Value)

说明

rho = corr(X) 返回输入矩阵 X 中各列之间的两两线性相关系数矩阵。

rho = corr(X,Y) 返回输入矩阵 X 和 Y 中各列之间的两两相关系数矩阵。

[rho,pval] = corr(X,Y) 还返回 pval，它是一个 p 值矩阵，用于基于非零相关性备择假设来检验无相关性假设。

[rho,pval] = corr(___,Name,Value) 可在前面语法中的输入参数外使用一个或多个名称-值对组参数指定选项。例如，'Type','Kendall' 指定计算肯德尔 tau 相关系数。

示例

计算两个矩阵之间的相关性

计算两个矩阵之间的相关性，并将其与两个列向量之间的相关性进行比较。

生成样本数据。

rng('default')
X = randn(30,4);
Y = randn(30,4);

在矩阵 X 的第二列和矩阵 Y 的第四列之间引入相关性。

Y(:,4) = Y(:,4)+X(:,2);

计算 X 和 Y 的列之间的相关性。

[rho,pval] = corr(X,Y)

rho = 4×4

   -0.1686   -0.0363    0.2278    0.3245
    0.3022    0.0332   -0.0866    0.7653
   -0.3632   -0.0987   -0.0200   -0.3693
   -0.1365   -0.1804    0.0853    0.0279

pval = 4×4

    0.3731    0.8489    0.2260    0.0802
    0.1045    0.8619    0.6491    0.0000
    0.0485    0.6039    0.9166    0.0446
    0.4721    0.3400    0.6539    0.8837

与预期相符，X 的第二列和 Y 的第四列之间的相关系数 rho(2,4) 最高，表示这两列之间存在高正相关性。对于所示的四个数，对应的 p 值 pval(2,4) 为零。由于 p 值小于显著性水平 0.05，这表明拒绝两列之间不存在相关性的假设。

使用 corrcoef 计算 X 和 Y 之间的相关性。

[r,p] = corrcoef(X,Y)

r = 2×2

    1.0000   -0.0329
   -0.0329    1.0000

p = 2×2

    1.0000    0.7213
    0.7213    1.0000

与 corr 函数不同，MATLAB® 函数 corrcoef 在计算输入矩阵 X 和 Y 之间的相关性之前，将它们转换为列向量 X(:) 和 Y(:)。因此，在矩阵 X 的第二列和矩阵 Y 的第四列之间引入的相关性不再存在，因为这两列位于转换后的列向量的不同部分。

r 的非对角线元素的值（表示 X 和 Y 之间相关系数）较低。该值表示 X 和 Y 之间几乎没有相关性。同样，p 的非对角线元素的值（表示 p 值）远远高于显著性水平 0.05。该值表明没有足够的证据来拒绝 X 和 Y 之间没有相关性的假设。

检验相关性的备择假设

检验两个矩阵列之间正、负和非零相关性的备择假设。比较每种情况下相关系数的值和 p 值。

生成样本数据。

rng('default')
X = randn(50,4);
Y = randn(50,4);

在矩阵 X 的第一列和矩阵 Y 的第四列之间引入正相关性。

Y(:,4) = Y(:,4)+0.7*X(:,1);

在 X 的第二列和 Y 的第二列之间引入负相关性。

Y(:,2) = Y(:,2)-2*X(:,2);

检验相关性大于零的备择假设。

[rho,pval] = corr(X,Y,'Tail','right')

rho = 4×4

    0.0627   -0.1438   -0.0035    0.7060
   -0.1197   -0.8600   -0.0440    0.1984
   -0.1119    0.2210   -0.3433    0.1070
   -0.3526   -0.2224    0.1023    0.0374

pval = 4×4

    0.3327    0.8405    0.5097    0.0000
    0.7962    1.0000    0.6192    0.0836
    0.7803    0.0615    0.9927    0.2298
    0.9940    0.9397    0.2398    0.3982

与预期相符，X 的第一列和 Y 的第四列之间的相关系数 rho(1,4) 具有最高的正值，表示这两列之间存在高正相关性。对于所示的四个数，对应的 p 值 pval(1,4) 为零，低于显著性水平 0.05。这些结果表明拒绝这两列之间不存在相关性的原假设，并得出相关性大于零的结论。

检验相关性小于零的备择假设。

[rho,pval] = corr(X,Y,'Tail','left')

rho = 4×4

    0.0627   -0.1438   -0.0035    0.7060
   -0.1197   -0.8600   -0.0440    0.1984
   -0.1119    0.2210   -0.3433    0.1070
   -0.3526   -0.2224    0.1023    0.0374

pval = 4×4

    0.6673    0.1595    0.4903    1.0000
    0.2038    0.0000    0.3808    0.9164
    0.2197    0.9385    0.0073    0.7702
    0.0060    0.0603    0.7602    0.6018

与预期相符，X 的第二列和 Y 的第二列之间的相关系数 rho(2,2) 为绝对值最大的负数 (-0.86)，表示这两列之间存在高负相关性。对于所示的四个数，对应的 p 值 pval(2,2) 为零，低于显著性水平 0.05。同样，这些结果表明拒绝原假设，并得出相关性小于零的结论。

检验相关性不为零的备择假设。

[rho,pval] = corr(X,Y)

rho = 4×4

    0.0627   -0.1438   -0.0035    0.7060
   -0.1197   -0.8600   -0.0440    0.1984
   -0.1119    0.2210   -0.3433    0.1070
   -0.3526   -0.2224    0.1023    0.0374

pval = 4×4

    0.6654    0.3190    0.9807    0.0000
    0.4075    0.0000    0.7615    0.1673
    0.4393    0.1231    0.0147    0.4595
    0.0120    0.1206    0.4797    0.7964

对于所示的四个数，p 值 pval(1,4) 和 pval(2,2) 均为零。由于 p 值低于显著性水平 0.05，因此相关系数 rho(1,4) 和 rho(2,2) 显著不同于零。因此，拒绝原假设；相关性不是零。

输入参数

X — 输入矩阵

矩阵

输入矩阵，指定为 n×k 矩阵。X 的行对应于观测值，而列对应于变量。

示例: X = randn(10,5)

数据类型: single | double

Y — 输入矩阵

矩阵

输入矩阵，当 X 指定为 n×k₁ 矩阵时，指定为 n×k₂ 矩阵。Y 的行对应于观测值，而列对应于变量。

示例: Y = randn(20,7)

数据类型: single | double

名称-值参数

将可选的参数对组指定为 Name1=Value1,...,NameN=ValueN，其中 Name 是参数名称，Value 是对应的值。名称-值参数必须出现在其他参数后，但参数对组的顺序无关紧要。

在 R2021a 之前，使用逗号分隔每个名称和值，并用引号将 Name 引起来。

示例: corr(X,Y,'Type','Kendall','Rows','complete') 仅使用不包含缺失值的行返回肯德尔 tau 相关系数。

Type — 相关性的类型

'Pearson' (默认) | 'Kendall' | 'Spearman'

相关性的类型，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'Type' 和下列值之一。

值	描述
'Pearson'	皮尔逊线性相关系数
'Kendall'	肯德尔 tau 相关系数
'Spearman'	斯皮尔曼 rho

corr 使用 Student t 分布来转换相关性以计算皮尔逊相关性的 p 值。当 X 和 Y 来自正态分布时，这种相关性是精确的。corr 使用精确排列分布（对于小样本）或大样本近似分布计算肯德尔 tau 和斯皮尔曼 rho 的 p 值。

示例: 'Type','Spearman'

Rows — 在计算中要使用的行

'all' (默认) | 'complete' | 'pairwise'

在计算中要使用的行，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'Rows' 和下列值之一。

值	描述
'all'	使用输入的所有行，而不考虑缺失值 (NaN)。
'complete'	仅使用没有缺失值的输入行。
'pairwise'	使用 i 或 j 列中没有缺失值的行计算 rho(i,j)。

与 'pairwise' 值不同，'complete' 值始终生成正定或半正定 rho。此外，当输入（X 或 Y）的行包含缺失值时，'complete' 值通常使用较少的观测值来估计 rho。

示例: 'Rows','pairwise'

Tail — 备择假设

'both' (默认) | 'right' | 'left'

备择假设，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'Tail' 和下表中的值之一。'Tail' 指定计算 p 值所针对的备择假设，用于检验无相关性的假设。

值	描述
'both'	检验相关性不为 0 的备择假设。
'right'	检验相关性大于 0 的备择假设
'left'	检验相关性小于 0 的备择假设。

corr 通过将两个单尾 p 值中的较大值加倍，计算双尾检验的 p 值。

示例: 'Tail','left'

输出参数

rho — 两两线性相关系数

矩阵

两两线性相关系数，以矩阵形式返回。

• 如果您只输入矩阵 X，rho 是对称的 k×k 矩阵，其中 k 是 X 中的列数。条目 rho(a,b) 是 X 中 a 列和 b 列之间的两两线性相关系数。

• 如果您输入矩阵 X 和 Y，rho 是 k₁×k₂ 矩阵，其中 k₁ 和 k₂ 分别是 X 和 Y 中的列数。条目 rho(a,b) 是 X 中的 a 列和 Y 中的 b 列之间的两两线性相关系数。

pval — p 值

矩阵

p 值，以矩阵形式返回。pval 的每个元素均为 rho 的对应元素的 p 值。

如果 pval(a,b) 较小（小于 0.05），则相关性 rho(a,b) 显著不同于零。

详细信息

皮尔逊线性相关系数

皮尔逊线性相关系数是最常用的线性相关系数。对于矩阵 X 中的 X_a 列和矩阵 Y 中的 Y_b 列，其含义为 $${\overline{X}}_a={\displaystyle \sum _{i=1}^n(X_{a,i})/n},$$ 和 $${\overline{Y}}_b={\displaystyle \sum _{j=1}^n(Y_{b,j})/n}$$，皮尔逊线性相关系数 rho(a,b) 定义为：

$$rho(a,b)=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n(X_{a,i}-{\overline{X}}_a)(Y_{b,i}-{\overline{Y}}_b)}}{{\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{(X_{a,i}-{\overline{X}}_a)}^2{\displaystyle \sum _{j=1}^n{(Y_{b,j}-{\overline{Y}}_b)}^2}}\right\}}^{1/2}},$$

，其中 n 为每个列的长度。

相关系数的值的范围是从 –1 到 +1。值 –1 表示完全负相关，而值 +1 表示完全正相关。值 0 表示列之间没有相关性。

肯德尔 tau 相关系数

肯德尔 tau 基于 (i,j) 同序对的计数（其中 i<j），同序是指 $$X_{a,i}-X_{a,j}$$ 和 $$Y_{b,i}-Y_{b,j}$$ 具有相同的符号。肯德尔 tau 方程包括对归一化常量中结值的调整项，通常称为 tau-b。

对于矩阵 X 中的 X_a 列和矩阵 Y 中的 Y_b 列，肯德尔 tau 系数定义为：

$$\tau =\frac{2K}{n(n-1)},$$

其中 $$K={\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n{\xi }^{*}(X_{a,i},X_{a,j},Y_{b,i},Y_{b,j})}},$$ 并且

$${\xi }^{*}(X_{a,i},X_{a,j},Y_{b,i},Y_{b,j})=\{\begin{array}{ccc}1& \text{if}& (X_{a,i}-X_{a,j})(Y_{b,i}-Y_{b,j})>0\\ 0& \text{if}& (X_{a,i}-X_{a,j})(Y_{b,i}-Y_{b,j})=0\\ -1& \text{if}& (X_{a,i}-X_{a,j})(Y_{b,i}-Y_{b,j})<0\end{array}.$$

相关系数的值的范围是从 –1 到 +1。值 –1 表示一个列秩序是另一个列秩序的逆，值 +1 表示两个列秩序相同。值 0 表示列之间没有关系。

斯皮尔曼 rho

斯皮尔曼 rho 等效于应用于 X_a 和 Y_b 列的秩序的 皮尔逊线性相关系数。

如果每个列中的所有秩都不同，该方程可简化为：

$$rho(a,b)=1-\frac{6{\displaystyle \sum d^2}}{n(n^2-1)},$$

其中，d 是两个列的秩之差，n 是每列的长度。

提示

corr(X,Y) 和 MATLAB^® 函数 corrcoef(X,Y) 之间的区别在于 corrcoef(X,Y) 返回两个列向量 X 和 Y 的相关系数的矩阵。如果 X 和 Y 不是列向量，corrcoef(X,Y) 会将它们转换为列向量。

参考

[1] Gibbons, J.D. Nonparametric Statistical Inference. 2nd ed. M. Dekker, 1985.

[2] Hollander, M., and D.A. Wolfe. Nonparametric Statistical Methods. Wiley, 1973.

[3] Kendall, M.G. Rank Correlation Methods. Griffin, 1970.

[4] Best, D.J., and D.E. Roberts. "Algorithm AS 89: The Upper Tail Probabilities of Spearman's rho." Applied Statistics, 24:377-379.

扩展功能

tall 数组

对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

此函数支持对无法放入内存的数据使用 tall 数组，但有以下限制：

仅支持 'Pearson' 类型。

有关详细信息，请参阅使用 tall 数组处理无法放入内存的数据。

基于线程的环境

使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组

通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

此函数完全支持 GPU 数组。有关详细信息，请参阅Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

corrcoef | partialcorr | corrcov | tiedrank