泊松分布
概述
泊松分布是单参数曲线族,它对随机事件的发生次数进行建模。此分布适用于涉及计算在给定的时间段、距离、面积等范围内发生随机事件的次数的应用情形。应用泊松分布的例子包括盖革计数器每秒咔嗒的次数、每小时走入商店的人数,以及网络上每分钟的丢包数。
Statistics and Machine Learning Toolbox™ 提供了几种处理泊松分布的方法。
参数
泊松分布使用以下参数。
参数 | 描述 | 支持 |
---|---|---|
lambda (λ) | 均值 |
参数 λ 也等于泊松分布的方差。
参数为 λ1 和 λ2 的两个泊松随机变量之和是一个参数为 λ = λ1 + λ2 的泊松随机变量。
概率密度函数
泊松分布的概率密度函数 (pdf) 是
结果是随机事件发生的概率正好是 x。对于离散分布,pdf 也称为概率质量函数 (pmf)。
有关示例,请参阅计算泊松分布 pdf。
累积分布函数
泊松分布的累积分布函数 (cdf) 为
结果是随机事件发生的概率最多为 x。
有关示例,请参阅计算泊松分布 cdf。
示例
计算泊松分布 pdf
计算参数 lambda = 4
的泊松分布的 pdf。
x = 0:15; y = poisspdf(x,4);
用宽度为 1
的条形绘制 pdf。
figure bar(x,y,1) xlabel('Observation') ylabel('Probability')
计算泊松分布 cdf
计算参数 lambda = 4
的泊松分布的 cdf。
x = 0:15; y = poisscdf(x,4);
绘制 cdf。
figure stairs(x,y) xlabel('Observation') ylabel('Cumulative Probability')
比较泊松分布和正态分布的 pdf
当 lambda
较大时,泊松分布可以用均值为 lambda
和方差为 lambda
的正态分布来逼近。
计算参数 lambda = 50
的泊松分布的 pdf。
lambda = 50; x1 = 0:100; y1 = poisspdf(x1,lambda);
计算对应正态分布的 pdf。
mu = lambda; sigma = sqrt(lambda); x2 = 0:0.1:100; y2 = normpdf(x2,mu,sigma);
在同一个轴上绘制这些 pdf。
figure bar(x1,y1,1) hold on plot(x2,y2,'LineWidth',2) xlabel('Observation') ylabel('Probability') title('Poisson and Normal pdfs') legend('Poisson Distribution','Normal Distribution','location','northwest') hold off
正态分布的 pdf 高度逼近泊松分布的 pdf。
相关分布
Binomial Distribution - 二项分布是双参数离散分布,它对 N 次独立试验的成功次数进行计数,成功概率为 p。泊松分布是二项分布的极限情况,其中 N 趋向无穷,p 趋向零,而 Np = λ。请参阅Compare Binomial and Poisson Distribution pdfs。
Exponential Distribution - 指数分布是具有参数 μ(均值)的单参数连续分布。泊松分布对随机事件在给定时间内发生的次数计数进行建模。在这种模型中,事件的时间间隔服从均值为 的指数分布。
正态分布 - 正态分布是双参数连续分布,具有参数 μ(均值)和 σ(标准差)。当 λ 较大时,泊松分布可以用具有 μ = λ 和 σ2 = λ 的正态分布来逼近。请参阅比较泊松分布和正态分布的 pdf。
参考
[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.
[2] Devroye, Luc. Non-Uniform Random Variate Generation. New York, NY: Springer New York, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8
[3] Evans, Merran, Nicholas Hastings, and Brian Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed. New York: J. Wiley, 1993.
[4] Loader, Catherine. Fast and Accurate Computation of Binomial Probabilities. July 9, 2000.
另请参阅
PoissonDistribution
| poisscdf
| poisspdf
| poissinv
| poisstat
| poissfit
| poissrnd