qrinsert

将列或行插入 QR 分解

语法

[Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x) [Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x,"col") [Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x,"row")

说明

[Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x) 返回矩阵 A1 的 QR 分解，其中 A1 是具有列 x 的 A = Q*R，该列插在 A(:,j) 之前。如果 A 具有 n 列和 j = n+1，则 x 插在 A 的最后一列之后。如果 A 和 x 具有不同数据类型，则 Q1 和 R1 具有与 A 相同的数据类型。

[Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x,"col") 等效于 [Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x)。

[Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x,"row") 返回矩阵 A1 的 QR 分解，其中 A1 是具有额外行 x 的 A = Q*R，该行插在 A(j,:) 之前。

示例

给定 5-by-5 矩阵的 QR 分解，使用对 qrinsert 的一个函数调用，返回插入一行的矩阵的 QR 分解。

A = magic(5);  
[Q,R] = qr(A);
j = 3; 
x = 1:5;
[Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x,"row")

Q1 =
    0.5231    0.5039   -0.6750    0.1205    0.0411    0.0225
    0.7078   -0.6966    0.0190   -0.0788    0.0833   -0.0150
    0.0308    0.0592    0.0656    0.1169    0.1527   -0.9769
    0.1231    0.1363    0.3542    0.6222    0.6398    0.2104
    0.3077    0.1902    0.4100    0.4161   -0.7264   -0.0150
    0.3385    0.4500    0.4961   -0.6366    0.1761    0.0225

R1 =
   32.4962   26.6801   21.4795   23.8182   26.0031
         0   19.9292   12.4403    2.1340    4.3271
         0         0   24.4514   11.8132    3.9931
         0         0         0   20.2382   10.3392
         0         0         0         0   16.1948
         0         0         0         0         0

qrinsert 函数返回有效的 QR 分解。但是，如果您将行显式插入到原始矩阵中，然后使用对 qr 的函数调用来计算其 QR 分解，分解的结果可能会有所不同。

A2 = [A(1:j-1,:); x; A(j:end,:)];
[Q2,R2] = qr(A2)

Q2 =
   -0.5231    0.5039    0.6750   -0.1205    0.0411    0.0225
   -0.7078   -0.6966   -0.0190    0.0788    0.0833   -0.0150
   -0.0308    0.0592   -0.0656   -0.1169    0.1527   -0.9769
   -0.1231    0.1363   -0.3542   -0.6222    0.6398    0.2104
   -0.3077    0.1902   -0.4100   -0.4161   -0.7264   -0.0150
   -0.3385    0.4500   -0.4961    0.6366    0.1761    0.0225

R2 =
  -32.4962  -26.6801  -21.4795  -23.8182  -26.0031
         0   19.9292   12.4403    2.1340    4.3271
         0         0  -24.4514  -11.8132   -3.9931
         0         0         0  -20.2382  -10.3392
         0         0         0         0   16.1948
         0         0         0         0         0

算法

qrinsert 函数将 x 的值插入 R 的第 j 列（或行）。然后，它使用一系列的 Givens 旋转将第 j 列（或行）中对角线中和下方的 R 非零元素更改为零。[1]

参考

[1] Golub, Gene H., and Charles F. Van Loan. Matrix Computations. 4th ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, 2013, Sections 6.5.2–6.5.3, pp. 335–338.